题目及解答

关于平面图

概念

离散数学中的平面图是一种特殊的无向图，它可以在平面上绘制而没有任何边交叉。换句话说，一个图如果可以嵌入到平面中，即可以在不使边交叉的情况下画在平面上，则该图称为平面图。

平面图的一些重要概念和定理包括：

  1. 库拉托夫斯基定理：这是判断一个图是否为平面图的一个标准。根据这个定理，一个有限图是平面图当且仅当它不包含K₅（完全五边形）或K₃,₃（完全二分图，两边各有三个顶点）作为子图的细分。也就是说，不能通过增加顶点将这些图变成原图的子图。
  2. 欧拉公式：对于任何连通的平面图，设V为顶点数，E为边数，F为面数（包括外部无限面），则有 V - E + F = 2。这一公式对分析和证明平面图的性质非常有用。
  3. 四色定理：这是一个著名的关于平面图的定理，它表明任何平面图都可以用四种颜色来着色，使得相邻的区域（共享一条边界线的区域）有不同的颜色。
  4. 对偶图：给定一个平面图，可以通过把每个面映射到一个顶点，并连接两个顶点如果它们对应的面共享一条边，从而构造出一个新的图，这被称为原图的对偶图。对偶图也是平面图。
  5. 外平面图：这是一种特殊的平面图，其中所有顶点都位于同一个面（通常是外部无限面）的边界上。
  6. 极大平面图：是指不能再添加任何新边而不破坏其平面性的平面图。对于这样的图，每一个面都是三角形。

理解平面图的概念及其特性有助于解决各种问题，比如网络设计、电路板布局以及地图着色等。

欧拉公式和库拉托夫斯基定理